Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy
Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována ani šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele. Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno.

Ing. Oldřich Šoba, Ph.D.
Ing. Martin Širůček, Ph.D.

Finanční matematika v praxi
2., aktualizované a rozšířené vydání

Kniha je monografie

Vydala Grada Publishing, a.s.
U Průhonu 22, 170 00 Praha 7
tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400
www.grada.cz
jako svou 6465. publikaci

Odborně recenzoval:
prof. Ing. Oldřich Rejnuš, CSc.

Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing, a.s.

Odpovědný redaktor Václav Ječmínek, Zuzana Böhmová
Sazba Antonín Plicka
Formát ePub Štěpán Böhm
Počet stran 336
Druhé vydání, Praha 2017
Vytiskly Tiskárny Havlíčkův Brod, a.s.

© Grada Publishing, a.s., 2017
Cover Photo © Depositphotos/kaprikM

ISBN 978-80-271-9264-9 ePub
ISBN 978-80-271-9263-2 pdf
ISBN 978-80-271-0250-1 print

Tato publikace vznikla v průběhu řešení projektu operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/2.2.00/15.0060 Studijní opory pro studenty bakalářského stupně studia. Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

O autorech

Ing. Oldřich Šoba, Ph.D.

Absolvoval doktorské studium v oboru Finance na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně. Zde působil na Ústavu financí, kde vyučoval oblast finančních a kapitálových trhů a finanční matematiky. Rovněž spolupracoval s finančními institucemi na vzdělávacích projektech v oblasti financí a finančního poradenství. V minulosti také pracoval jako redaktor a ekonomický analytik v dotačním poradenství. V současné době působí v soukromé sféře v oblasti private equity investic.

Ing. Martin Širůček, Ph.D.

Působí na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně, kde v roce 2013 absolvoval doktorské studium financí. Podílí se na výuce předmětů Finanční trhy, Kapitálové trhy, Investiční záměry a inovační management či Osobní a rodinné finance. Jeho odborná orientace směřuje do oblasti akciových a dluhopisových trhů, zejména analýzy vzniku cenových bublin a faktorů, které je způsobují. Dále se zajímá o problematiku kolektivního investování a využití strukturovaných produktů. Působí jako zkušební komisař a odborný garant zkoušek odborné způsobilosti EFPA Česká republika.

Úvod

Matematiku neměla řada lidí ráda už na základní nebo střední škole, což je škoda. Matematika, její principy a pravidla nás totiž obklopují i v každodenním životě, jen si to neuvědomujeme. Příčinou může být i to, že při její výuce si lidé pod probíranými pojmy, vzorečky apod. nedokázali nic představit. Například aritmetická a geometrická posloupnost se vysvětlovaly a prověřovaly na nic neříkajících číslech a bylo nutno znát všechny vzorce zpaměti. Mnozí lidé tak aritmetickou a geometrickou posloupnost nyní považují za neurčité pojmy v matematice nebo je ze své paměti dokonce již vytěsnili úplně.

Místo toho mohly být tyto pojmy vysvětlovány na praktických věcech, se kterými se člověk setkává v každodenním životě. Právě princip aritmetické a geometrické posloupnosti je totiž aplikován ve finanční sféře při jednoduchém a složeném úročení, které je součástí prakticky jakéhokoliv finančního produktu. Může se jednat o běžné účty, spořicí účty, úvěry, pravidelné investice do podílových fondů, stavební spoření nebo spoření na penzi či složitější operace, jako jsou investice do cenných papírů, například dluhopisy, akcie a další.

Pokud by tyto pojmy byly vysvětlovány na příkladech z peněžní oblasti, která je součástí života každého z nás, asi by z paměti nevymizely. Finanční gramotnost českého obyvatelstva by možná byla lepší než v současnosti. I když finanční matematika obsahuje ono často nenáviděné slovo „matematika“, je jejím obsahem zejména uvedená aritmetická a geometrická posloupnost neboli jednoduché a složené úročení, z nichž potom vycházejí další vzorce a výpočty. Výhodou je, že na finanční matematice není vůbec nic složitého, pokud je ovšem jednoduše a zejména prakticky vysvětlována. Stává se z ní pak zajímavá hra s čísly, kterou využijeme v běžném životě, a někdo jí dokonce i propadne.

Tato publikace si neklade za cíl rozvíjet finanční matematiku jako vědu, ale jednoduše a hlavně prakticky ji vysvětlovat, i když se někdy dopustíme dílčího zjednodušení, které ovšem nebude mít na nic podstatného vliv. Například úrokové sazby u jednotlivých příkladů v této knize nemusí odpovídat aktuálním podmínkám na českém trhu, stejně tak např. měnové kurzy, které se v průběhu času mění. Jednak jde pouze o příklady a jednak by při současných velmi nízkých úrokových sazbách, které se reálně blíží nule, mohly být zkresleny výsledky při jejich převodech a následném zaokrouhlování.

Kniha je doplněna o výuková videa, jež se používají na několika vysokých školách. Jednotlivé kapitoly knihy tvoří podkladové materiály k těmto výukovým videím, která jsou dostupná na adrese http://web2.mendelu.cz/pef_118_video/videokurz.php. Tato publikace a videa vám snad umožní, abyste se finanční matematiky přestali obávat a začali ji prakticky využívat ve svůj prospěch. Kniha je rovněž vhodným doplněním praktické aplikace a využití vybraných nástrojů finančních trhů, které popisuje ve svojí publikaci Finanční trhy (Grada Publishing, 2016) profesor Oldřich Rejnuš.

Přejeme Vám pěkné čtení!

Oldřich Šoba, Martin Širůček

1Úvod do finanční matematiky

V rámci videokurzu Finanční matematika se této kapitole věnuje díl 1.

Jednotná definice finanční matematiky neexistuje, lze si tak ale obecně představit jakékoliv matematické operace ve finanční sféře. Finanční matematika využívá aparátu, který je součástí středoškolské matematiky, pouze jej aplikuje do finanční oblasti, a proto není třeba se obávat přílišné složitosti. U finanční matematiky je totiž nutno pochopit princip, na kterém je založena a který důsledně uplatňuje, poté je vše nejenom relativně jednoduché, ale i velice zajímavé. Tímto principem je časová hodnota peněz.

1.1Časová hodnota peněz

Časová hodnota peněz je založena na myšlence, že peníze mají v různém okamžiku různou hodnotu neboli že hodnota peněz se v průběhu času mění. Kromě toho, že každý investor preferuje více peněz než méně a méně rizika než více, preferuje také stejné množství peněz dříve než později. Princip časové hodnoty peněz lze demonstrovat na příkladu 1.1.

Příklad 1.1Časová hodnota peněz

Obecně platí, že stokoruna obdržená dnes má vyšší hodnotu než stokoruna obdržená za rok. Je tomu z toho důvodu, že pokud současná stokoruna bude uložena a úročena, zúročí se a za rok budeme mít více než sto korun. Například při 5% roční úrokové sazbě by se za rok zúročila na 105 Kč, což je více než 100 Kč obdržených za rok.

To znamená, že budoucí hodnota současné stokoruny je za rok 105 Kč. Ale platí to i zpětně, to znamená, že současná hodnota 105 Kč obdržených za rok je při 5% roční úrokové sazbě 100 Kč. Pokud bychom tedy chtěli mít za rok (budoucí hodnota) na účtu 105 Kč při 5% roční úrokové sazbě, museli bychom na něj nyní (současná hodnota) uložit 100 Kč.

To znamená, že při 5% roční úrokové sazbě má stejnou hodnotu současných 100 Kč nebo za rok obdržených 105 Kč. Pokud by ovšem byla aplikována roční úroková sazba 6 %, byla by budoucí hodnota současných 100 Kč rovna za rok 106 Kč, což by bylo více než 105 Kč obdržených za rok, a proto by mělo vyšší hodnotu 100 Kč obdržených dnes než 105 Kč obdržených za rok.

Princip, resp. metoda časové hodnoty peněz je založena na převodu hodnoty peněz k určitému časovému okamžiku, a to prostřednictvím úročení stanovenou úrokovou sazbou. Finanční matematika tak převádí hodnotu peněz k určitému časovému okamžiku, a to buď k jejich budoucí, nebo současné hodnotě.

a)Budoucí hodnota (future value – FV)

Pokud chceme vypočítat, jakou částku budeme mít na spořicím účtu, nebo na jakou hodnotu naroste zvolená investice, počítáme budoucí hodnotu peněz.

b)Současná hodnota (present value – PV)

Pokud ale naopak chceme vypočítat, kolik musíme nyní uložit na účet, abychom získali v budoucnu určitou částku, nebo jakou hodnotu pro nás má v současnosti určitá investice, počítáme naopak současnou hodnotu peněz.

Přitom ovšem platí, že pokud chceme určité peněžní částky mezi sebou sčítat, odčítat, porovnávat atd., musí být jejich hodnoty vztaženy vždy ke stejnému časovému okamžiku. Pro porovnání hodnot peněz u zvolených alternativ není podstatné, ke kterému časovému okamžiku hodnotu peněz vztáhneme, musí se ale jednat o stejný časový okamžik. Vysvětlíme si to na příkladu 1.2.

Příklad 1.2Aplikace časové hodnoty peněz

Má vyšší hodnotu 1 000 Kč obdržených dnes nebo 1 100 Kč obdržených za rok při roční úrokové sazbě 15 %?

Tento příklad má nekonečně mnoho možných způsobů řešení, ovšem závěr, která z daných alternativ má vyšší hodnotu, bude vždy stejný. Máme tedy dvě alternativy a máme stanovit, která z nich má vyšší hodnotu:

Alternativa A: 1 000 Kč obdržených dnes, to znamená v období 0.

Alternativa B: 1 100 Kč obdržených za rok, to znamená v období 1.

Pro převod hodnot peněz z obou alternativ ke stejnému okamžiku máme využít roční úrokové sazby 15 %. Není v tomto případě podstatné, ke kterému okamžiku hodnotu peněz z obou alternativ převedeme, může se jednat o současnost, období za 1 rok, za 5 let, za 10 let atd. Hlavně se musí u obou alternativ jednat o stejný časový okamžik. Ukážeme si řešení jednak při převodu na současný okamžik, jednak při převodu na období za 1 rok.

Převod hodnoty peněz k současnému okamžiku

Převod hodnoty peněz k období za 1 rok

Alternativa A

1 000 Kč

1 000 ∙ (1 + 0,15) = 1 150 Kč

Alternativa B

1 100 / (1 + 0,15) = 956,52 Kč

1 100 Kč

Závěr

Vyšší hodnota peněz je u alternativy A

Vyšší hodnota peněz je u alternativy A

U každé z obou alternativ obsahuje tmavě šedá buňka částku vztahující se k jejímu zadání. To znamená částka 1 000 Kč v současném okamžiku u alternativy A a částka 1 100 Kč v období za 1 rok u alternativy B. Není možné jednoduše srovnat částky 1 000 Kč vs. 1 100 Kč, jelikož každá je vztažena k jinému časovému okamžiku, ale je nutno stanovit hodnotu obou částek ke stejnému časovému okamžiku. Opět je nutno připomenout, že není v tomto případě podstatné ke kterému okamžiku, ale musí se jednat o stejný časový okamžik. Je tedy nutno srovnávat částky vždy ve stejném sloupci (stejný časový okamžik), a nikoliv křížem v rámci obou sloupců (jiný časový okamžik).

Jak vyplývá z řešení příkladu, závěr je v obou případech naprosto shodný, vyšší hodnotu představuje alternativa A. To lze vysvětlit tak (např. v rámci převodu hodnoty peněz k období za 1 rok), že pokud nyní uložíme 1 000 Kč na účet, budeme mít za 1 rok při 15% roční úrokové sazbě na tomto účtu 1 150 Kč, což je více než 1 100 Kč obdržených za rok.

Princip, resp. metoda časové hodnoty peněz využívá převodu hodnoty peněz k určitému časovému okamžiku. V případě výpočtu budoucí hodnoty se jedná o tzv. úročení, v případě současné hodnoty o odúročení (také tzv. diskontování), a to vše prostřednictvím úrokové sazby. Mezi základní pojmy časové hodnoty peněz a celé finanční matematiky tak patří úrok a úroková sazba.

1.2Úrok a úroková sazba

Úrok je obecně cena peněz, resp. cena za zapůjčení peněz z pohledu dlužníka a odměna za zapůjčení peněz z pohledu věřitele. Výše úroku se udává v peněžních jednotkách a je závislá zejména na úrokové sazbě.

Úroková sazba je úrok vyjádřený v procentech z hodnoty kapitálu. Úroková sazba se vždy vztahuje k určité délce časového období. O jaké časové období se jedná, udává dodatek (zkratka) u dané úrokové sazby. Převody mezi úrokovými sazbami vztahujícími se k různému časovému období využívají prostého dělení (při převodu z delšího časového období úrokové sazby na kratší), či naopak násobení (při převodu z kratšího časového období úrokové sazby na delší). Přehledně to demonstruje tabulka 1.1.

Tabulka 1.1 Úrokové sazby dle souvisejícího časového období

časové období související s úrokovou sazbou

dodatek (zkratka) u úrokové sazby

způsob převodu

rok => roční úroková sazba

p. a.

12 % p. a. => 12 % p. a.

pololetí => pololetní úroková sazba

p. s.

12 % p. a. => 6 % p. s.

čtvrtletí => čtvrtletní úroková sazba

p. q.

12 % p. a. => 3 % p. q.

měsíc => měsíční úroková sazba

p. m.

12 % p. a. => 1 % p. m.

den => denní úroková sazba

p. d.

12 % p. a. => 12/360 % p. d. nebo

12 % p. a. => 12/365 % p. d.

Upozornění

Jak vyplývá z tabulky 1.1, je nutno rozlišovat, k jak dlouhému časovému období je úroková sazba vztažena. Neznalosti této skutečnosti využívají často různé „pochybné společnosti“, a to např. při poskytování půjček. V jejich nabídce je často velmi lákavá úroková sazba např. ve výši 5 %, ovšem velmi malým písmem je dopsáno „p. m.“. To znamená, že to odpovídá roční úrokové sazbě 60 % p. a., což už samozřejmě tak výhodná nabídka není. Obdobného principu využívají i některé bankovní domy, a to např. při nabídce spořicích účtů, kde uvádí jejich vysoký výnos (např. 6 %), ovšem opět malým písmem doplňují, že se jedná o 2letý, či dokonce 3letý výnos daného spořicího účtu.

Úrokových sazeb existuje v ekonomice vysoký počet a také existuje více druhů úrokových sazeb, které se v rámci finanční matematiky využívají. Proto je nutno zvolit pro daný případ vždy ten správný druh úrokové sazby. Podrobněji se budeme věnovat různým druhům úrokových sazeb vždy v rámci konkrétní problematiky. Rovněž platí, že každá úroková sazba je udávána v procentech, ovšem do vzorců ve finanční matematice se dosazuje v relativním vyjádření. To znamená, že pokud se rovná úroková sazba např. 3 %, bude dosazeno 0,03 apod. Tento způsob zápisu jsme ostatně již aplikovali jak v příkladu 1.1, tak v příkladu 1.2.

5 % → 0,05

10 % → 0,10

Kromě pojmu úroková sazba existuje ještě pojem úroková míra, který je s pojmem úroková sazba často zaměňován. Rozdíl mezi pojmy úroková sazba a úroková míra není tolik významný, jako je tomu mezi pojmy úrok a úroková sazba. Rozdíl mezi úrokovou sazbou a úrokovou mírou je spíše v teoretické rovině, kdy úroková sazba představuje něco konkrétního a týká se např. určitého finančního produktu. Naproti tomu úroková míra je veličina, která se počítá, resp. odvozuje z jednotlivých úrokových sazeb. Praktický rozdíl mezi pojmy úroková sazba a úroková míra uvádí text v následujícím rámečku.

Upozornění: Úroková sazba versus úroková míra

Úroková sazba

Jedná se o veličinu, která je přímo určena nějakým subjektem, např. obchodní bankou, centrální bankou atd. Příkladem může být úroková sazba konkrétního spořicího účtu ve výši 2,00 % p. a.

Úroková míra

Jedná se o veličinu odvozenou (vypočítanou) z různých úrokových sazeb. Příkladem může být průměrná úroková sazba spořicích účtů v ČR. Poté lze napsat, že úroková míra u spořicích účtů se v ČR pohybuje ve výši cca 2 % p. a. Obdobným způsobem se z jiných veličin počítají i jiné míry, např. míra inflace atd.

Jak ovšem bylo uvedeno, zaměňování pojmů úroková sazba a úroková míra je běžné a nelze to považovat za závažnou chybu. Rozdíl je opravdu pouze v teoretické (terminologické) rovině, jelikož obě veličiny jsou udávány v procentech. Mnohem významnější chybou je zaměňování pojmů úrok a úroková sazba, kdy úrok je v peněžních jednotkách, kdežto úroková sazba se udává v procentech.

1.3Čas ve finanční matematice

Při počítání času je ve finanční matematice využíváno různých standardů, které se od sebe částečně, ale na druhou stranu pouze relativně nepatrně odlišují. Jiné standardy při počítání času se již projevily v posledním řádku tabulky 1.1, kdy se převáděla roční úroková sazba na denní úrokovou sazbu. Ve finanční matematice v rámci kvantifikace času existují následující tři standardy, které budeme stručně charakterizovat:

a)Německý standard

Jedná se o velmi jednoduchý a používaný standard, který bude převážně využíván i v rámci této knihy a označuje se jako 30E/360. Tento standard zjednodušeně říká, že každý měsíc má 30 dní, a to bez ohledu na jeho skutečný počet dní, a každý rok má 360 dní. To znamená, že pokud byly peníze na účtu po dobu přesně dvou měsíců, jedná se při vyjádření ve dnech o 60 dní a nemusí se rozlišovat, zdali dané měsíce měly 30, 31, či dokonce 28 dní. I když se jedná o únor s 28 dny nebo o březen s 31 dny, každý měsíc má dle tohoto standardu 30 dní a každý rok 360 dní.

b)Francouzský standard

Tento standard se označuje jako ACT/360 a počítá se skutečným počtem dní v měsíci a s 360 dny v roce. V rámci tohoto standardu se tedy již musí rozlišovat, zdali se jedná o měsíc únor s 28 dny, nebo o měsíc březen s 31 dny.

c)Anglický standard

Poslední standard se označuje jako ACT/365 a počítá se skutečným počtem dní jak v měsíci, tak v roce. V případě roku počítá s 365 dny, pokud se nejedná o přestupný rok, a s 366 dny u přestupného roku.

Při aplikaci jednotlivých standardů ve výpočtech je kvůli odlišnému uvažování počtu dní v měsíci a roce dosahováno odlišných výsledků, ovšem rozdíly ve výsledcích nejsou nikterak závratné. To lze demonstrovat na příkladu 1.3. Rozdíly jsou v daném případě opravdu malé.

Příklad 1.3Standardy pro počítání času

Vyjádřeme v rocích celé měsíce únor a březen dle jednotlivých standardů v případech, kdy se nejedná a kdy se jedná o přestupný rok.

a) nejedná se o přestupný rok

počet dní v únoru: 28

počet dní v březnu: 31

počet dní v roce: 365

standard

únor (28 dnů) a březen (31 dnů), vyjádřeno v rocích

30E/360

60/360

ACT/360

59/360

ACT/365

59/365

b) jedná se o přestupný rok

počet dní v únoru: 29

počet dní v březnu: 31

počet dní v roce: 366

standard

únor (29 dnů) a březen (31 dnů), vyjádřeno v rocích

30E/360

60/360

ACT/360

60/360

ACT/365

60/366

Jak vyplývá z obrázku 1.1, konkrétně z první věty, v případě UniCredit Bank se dle Všeobecných obchodních podmínek této finanční instituce používá standard anglický (ACT/365), kdy se uvažuje skutečný počet dní v měsících i v kalendářních rocích.

…

20.2 Při výpočtu úroků z kreditního zůstatku na účtu se vychází ze skutečného počtu dní v kalendářním roce a skutečného počtu dní trvání vkladu. Úroková sazba se standardně vztahuje na celou výši kreditního zůstatku. Kreditní zůstatek účtu lze rozdělit do jednotlivých pásem, pro která může Banka stanovit samostatnou úrokovou sazbu. Banka používá k výpočtu úroků sazbu vztahující se k části kreditního zůstatku v daném pásmu, není-li dohodnuto jinak.

…

Obrázek 1.1 Určení standardu ve Všeobecných obchodních podmínkách

Zdroj: UniCredit Bank

1.4Úroková sazba versus zdanění a inflace

Jak již bylo uvedeno, existují různé druhy úrokových sazeb. Úrokové sazby lze také členit dle následujících dvou kritérií:

a)zohlednění vlivu zdanění úrokových příjmů,

b)zohlednění vlivu působení inflace.

Na základě prvního z uvedených kritérií (zohlednění vlivu zdanění úrokových příjmů) se rozlišuje:

•hrubá úroková sazba,

•čistá úroková sazba.

Hrubá úroková sazba nezohledňuje vliv zdanění úrokových příjmů, kdežto čistá úroková sazba tento vliv zohledňuje. Je to obdobný princip jako rozdíl mezi hrubou a čistou mzdou. Matematický vztah mezi čistou a hrubou úrokovou sazbou je následující:

(1.1)

kde:rc = čistá úroková sazba,

rh = hrubá úroková sazba,

rdp = sazba daně z příjmů.

V případě České republiky jsou úroky např. u spořicích a termínovaných účtů v bankách zdaňovány srážkovou daní přímo u zdroje, a to ve výši 15 %. To znamená, že jsou připisovány úroky po zdanění, tedy čisté úroky.

Upozornění

Ve finanční matematice platí následující důležitá skutečnost. Pokud má být uvažován při výpočtech vliv zdanění úroků, resp. uvažovány pouze čisté úroky, je nutno do daných vzorců dosazovat úrokovou sazbu po zdanění, to znamená čistou úrokovou sazbu.

Na základě druhého z výše uvedených kritérií (zohlednění vlivu působení inflace) se rozlišuje:

•nominální úroková sazba,

•reálná úroková sazba.

Nominální úroková sazba tedy nezohledňuje vliv inflace, kdežto reálná úroková sazba tento vliv zohledňuje. Matematický vztah mezi reálnou a nominální úrokovou sazbou a mírou inflace je následující:

(1.2)

kde:rr = reálná úroková sazba,

rn = nominální úroková sazba,

ri = míra inflace.

Ke vztahu 1.2 je nutno uvést dvě poznámky:

1.V případě nízké nominální úrokové sazby a nízké míry inflace (cca do 5 %) lze pro výpočet reálné úrokové sazby tyto dvě proměnné pouze odečíst bez aplikace jmenovatele. Při použití celého uvedeného vztahu je ovšem výpočet reálné úrokové sazby vždy přesnější.

2.Nominální úroková sazba a míra inflace vstupující do výpočtu se musí vztahovat ke stejnému období, a to nejenom pokud se týká jeho délky, ale i stejného časového úseku. Nelze tak vycházet z nominální úrokové sazby pro nadcházející období na jedné straně a na straně druhé používat historickou inflaci. Pokud se má jednat o nominální úrokovou sazbu pro nadcházející období, je nutno vycházet z očekávané inflace za stejné období. Pokud se vychází z historické nominální úrokové sazby, je logicky nutno vycházet i z historické inflace, a to za naprosto stejné období. To znamená, že není možno vycházet např. z meziroční inflace a pololetní nominální úrokové sazby.

Samozřejmě lze jednotlivé druhy uvedených úrokových sazeb navzájem kombinovat, což znamená, že existuje hrubá nominální úroková sazba, čistá nominální úroková sazba, hrubá reálná úroková sazba a čistá reálná úroková sazba. Otázkou ovšem zůstává, jakým způsobem lze hodnoty těchto jednotlivých úrokových sazeb interpretovat. Místo uvádění teoretických pouček bude vhodnější tuto problematiku demonstrovat na příkladu 1.4.

Příklad 1.4Vliv zdanění a inflace

Předpokládejme, že byla uzavřena smlouva o ročním termínovaném vkladu s úrokovou sazbou 4 % p. a. a na tento účet byla uložena na počátku částka 10 000 Kč.

Skutečnost, že ve smlouvě o tomto vkladu je uvedena úroková sazba 4 % p. a., neznamená, že na konci roku bude na účtu o 4 % peněžních prostředků více, než byl počáteční vklad. A už vůbec to neznamená, že si na konci roku bude možno koupit díky zhodnocení počátečního vkladu průměrně o 4 % zboží a služeb více než za počáteční vklad.

Prvním faktorem, který „ukrojí“ z připsaných úroků, je daň z příjmů, která je často srážena u zdroje a je odvedena státu přímo bankou či obecně plátcem daně. Po zohlednění daně z příjmů získáme z hrubé úrokové sazby čistou úrokovou sazbu. Čistá úroková sazba úroku je poté dána výpočtem:

Čistá úroková sazba v tomto případě vyjadřuje, o kolik procent bude na konci roku na účtu více peněžních prostředků oproti počátečnímu vkladu na počátku roku, a to po zdanění. V tomto případě tedy o 3,40 %. To znamená, že na začátku roku bylo vloženo 10 000 Kč a na konci roku zde bude 10 340 Kč.

Banka tedy vypočítala úroky ve výši 400 Kč, z toho 15 % (60 Kč) bylo odvedeno ve formě daně a zbytek (340 Kč) připsala jako čisté úroky. Úroková sazba 3,40 % p. a. je sice čistá, ale stále nominální, což znamená, že zde není zohledněno působení inflace.

Druhým faktorem, který „ukrojí“ z úrokové sazby, resp. nominální výnosnosti termínovaného vkladu, je zmiňovaná inflace. Po zohlednění inflace se z nominální úrokové sazby získá reálná úroková sazba. Pokud bude uvažována roční míra inflace za stejné období jako trvání termínovaného vkladu ve výši 3,50 %, je reálná úroková sazba po zohlednění daně z příjmů (to znamená, že se jedná o čistou reálnou úrokovou sazbu) rovna:

Tuto čistou reálnou úrokovou sazbu, která vychází záporně, a to konkrétně −0,097 %, lze interpretovat tak, že za částku 10 340 Kč, která bude na konci roku po zohlednění zdanění na účtu, si bude možno koupit průměrně o 0,097 % méně zboží a služeb než za částku 10 000 Kč, která byla na účtu na začátku roku. V tomto případě tedy díky působení inflace dochází k poklesu reálné kupní síly peněz. Závěry příkladu lze interpretovat tak, že díky uložení peněz na daný termínovaný vklad s úrokovou sazbou 4 % p. a. a sazbě daně z úrokových příjmů 15 % bude na konci roku na účtu o 3,40 % peněžních prostředků více než na jeho počátku, ale na konci roku si za koncovou částku (10 340 Kč) koupíme při inflaci 3,5 % průměrně o 0,097 % zboží a služeb méně než za částku, která byla na účtu na počátku roku (10 000 Kč). Důležité je slovo „průměrně“, inflace se totiž měří pro spotřebitelské účely nejčastěji prostřednictvím indexu spotřebitelských cen (CPI), jenž vychází z cenového nárůstu položek, které jsou vybrány do tzv. spotřebitelského koše (viz tabulka níže), přičemž jednotlivé položky mají v daném koši různou váhu dle toho, jak průměrně zatěžují domácí rozpočty. Jedná se např. o položky reprezentující nájemné či obecně náklady na bydlení, potraviny, odívání atd. Pokud se ovšem spotřební koš dané domácnosti liší od spotřebního koše, dle kterého je kvantifikována inflace, může být dopad působení inflace u dané domácnosti jak vyšší, tak nižší.

Spotřební koš pro výpočet indexu spotřebitelských cen od ledna 2015

Zdroj: Český statistický úřad

Dále je nutno uvést, že pokud by peníze zůstaly „doma ve slamníku s 0% úrokovou sazbou“ a nebyly by uloženy na uvedený termínovaný vklad, byla by čistá nominální úroková sazba rovna 0 % p. a. a po zohlednění vlivu inflace (3,50 %) by čistá reálná úroková sazba činila cca –3,38 % p. a. To znamená, že uložení peněz na uvedený termínovaný vklad mírnilo negativní působení inflace na reálnou kupní sílu peněz.

Záporná reálná úroková sazba není především u běžných, spořicích a termínovaných účtů žádnou vzácností, jelikož výše úročení těchto produktů velmi často nedosahuje po zdanění úrovně inflace (viz řádek „Čisté reálné sazby z vkladů domácností s dohodnutou splatností“ v rámci obrázku 1.2). U úrokových sazeb úvěrů, které jsou obvykle vyšší, je tento jev méně častý, ale nastat samozřejmě může, což by bylo pro dlužníky velice výhodné. Inflace totiž u dlužníků vždy snižuje reálnou hodnotu jejich závazků a reálná úroková sazba úvěru nemusí být ani záporná.

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2T Repo

0,75

0,75

0,05

0,05

0,05

0,05

Diskontní sazba

0,25

0,25

0,05

0,05

0,05

0,05

Lombardní sazba

1,75

1,75

0,25

0,25

0,25

0,25

PRIBOR 3M

1,31

1,19

1,00

0,46

0,36

0,31

Úrokové sazby z úvěrů domácností na spotřebu

14,30

14,60

14,50

14,60

14,50

13,90

Úrokové sazby z úvěrů domácností na bydlení

5,30

5,10

4,80

4,30

3,90

3,50

Úrokové sazby z vkladů domácností

1,25

1,20

1,18

1,01

0,84

0,60

Míra inflace

1,50

1,90

3,30

1,40

0,40

0,30

Čisté reálné sazby z vkladů domácností1)

−0,18

−0,30

−0,53

−0,23

0,22

0,16

1) Deflováno růstem spotřebitelských cen, uvažována 15% daň z kapitálových výnosů.

Obrázek 1.2 Úrokové sazby – roční průměrné sazby, v % p. a.

Zdroj: MFČR

Příklad 1.5Zdanění úroků a inflace v ČR

V současné době jsou úroky z vkladů u fyzických osob nepodnikatelů zdaněny v ČR srážkovou daní ve výši 15 %, banka nám tedy připisuje úroky už po zdanění.

Inflace měřená indexem CPI se v uplynulých letech v ČR vyvíjela následujícím způsobem.

Zdroj: ČSÚ

Přestože nejen v České republice dochází či docházelo v posledních letech k poklesu míry inflace a tento pokles byl i důvodem měnových intervencí ČNB z roku 2013, nemusí každý spotřebitel pokles cen pociťovat. Je to způsobeno především tím, že inflace, jak bylo uvedeno, je vypočítávána ze spotřebitelského koše. Jedná se tedy o jakýsi průměrný růst cen, protože individuální spotřebitelský koš je skutečně subjektivní a zcela jistě se liší od „standardizovaného“ spotřebitelského koše. Např. podíl výdajů u penzistů za vzdělání či komunikaci bude jiný než třeba u mladého člověka. A naopak mladý člověk bude mít nižší výdaje za léčiva než člověk v důchodovém věku. Rozdíl ve struktuře výdajů dokládá i následující tabulka, která zachycuje strukturu výdajů českých domácností na osobu za 4. čtvrtletí roku 2015.

Spotřební vydání domácností, průměry na osobu

Domácnosti celkem

z toho domácnosti

zaměstnanců

samostatně činných

nezaměst-naných

důchodců bez EA členů

celkem

bez dětí

s dětmi

Průměry na osobu v Kč za měsíc:

SPOTŘEBNÍ VYDÁNÍ (CZ-COICOP)

10 729

10 839

14 803

8 990

10 809

7 803

10 868

01

Potraviny a nealkoholické nápoje

2 169

2 069

2 802

1 727

2 044

1 689

2 612

02

Alkoholické nápoje, tabák

337

321

541

219

308

270

372

03

Odívání a obuv

647

721

869

652

754

413

425

04

Bydlení, voda, energie, paliva

2 160

1 963

3 050

1 456

1 907

2 099

2 878

z toho: základní bydlení

2 008

1 827

2 820

1 365

1 765

2 028

2 658

05

Bytové vybavení, zařízení domácnosti; opravy

733

742

1 039

604

802

276

756

06

Zdraví

274

247

354

197

218

117

396

07

Doprava

1 050

1 167

1 607

962

1 152

910

733

08

Pošty a telekomunikace

450

465

617

394

487

347

394

09

Rekreace a kultura

982

1 044

1 288

930

1 006

548

881

10

Vzdělávání

49

60

17

79

73

24

10

11

Stravování a ubytování

525

601

609

597

614

281

311

12

Ostatní zboží a služby

1 354

1 438

2 008

1 172

1 444

830

1 101

Zdroj: Český statistický úřad, 4. čtvrtletí 2015

Z uvedených dat je jasně patrný rozdíl např. právě v podílu výdajů na zdraví u důchodců, který činí 3,6 % všech výdajů, zatímco u zaměstnaných osob, resp. samostatně výdělečně činných se jedná o podíl 2–2,4 %. Naopak vyšší podíl výdajů u zaměstnanců nebo osob samostatně výdělečně činných je v případě dopravy, rekreace a kultury či vzdělávání. Stejně je logicky u nezaměstnaných osob podíl výdajů na vybavení domácnosti poloviční ve srovnání s těmito výdaji u lidí v důchodovém věku.

1.5Úrokové období

Zatím se ve všech předchozích příkladech počítalo s tím, že úroky jsou připisovány jednou ročně, ovšem často tomu tak není. Například u měsíčního termínovaného vkladu jsou úroky připisovány každý měsíc, v případě pololetního úrokového období pak každé pololetí atd. A právě určení a zohlednění frekvence připisování úroků je v rámci výpočtů ve finanční matematice prakticky to nejdůležitější, jelikož každý vzorec je koncipován na tzv. úrokové období (nebo také úrokovací období či období připisování úroků).

Úrokové období je jednoduše období, za které jsou připisovány úroky, resp. udává frekvenci úročení. Úrokovému období musí být v rámci daného vztahu přizpůsobeny veškeré proměnné, které jsou na něm závislé. A pokud jsou v jiném formátu, tak musí být do formátu úrokového období převedeny. To lze demonstrovat na nejjednodušším výpočtu ve finanční matematice, kterým je výpočet úroku, čemuž se bude věnovat následující podkapitola.

Obrázek 1.3 Úrokové období u spořicího účtu

Zdroj: UniCredit Bank

Úrokové období (období připisování úroků) obvykle zjistíme velmi jednoduše ze základních materiálů týkajících se daných produktů. Na obrázku 1.3 se u spořicího produktu jedná o čtvrtletní připisovací období. Úrokové období je tak čtvrtletí. Uvedený obrázek pochází ze základního informačního materiálu spořicího účtu.

1.6Výpočet úroku

Úrok je kvantifikován dle vztahu 1.3 a je nutno připomenout, že jak u tohoto vztahu, tak i u jiného vztahu v rámci finanční matematiky je nejdůležitější nejprve určit frekvenci úročení neboli úrokové období a tomu poté přizpůsobit proměnné vstupující do daného vztahu. Ten je totiž koncipován právě na úrokové období.

(1.3)

kde:U = výše úroku v peněžních jednotkách,

K = výše kapitálu,

r = úroková sazba za úrokové období,

t = počet úrokových období úročení kapitálu K.

Proměnná (r) tedy není automaticky roční úroková sazba (v relativním vyjádření), ale je to obecně úroková sazba za úrokové období. To znamená, že je-li úrokové období pololetní, jedná se o pololetní úrokovou sazbu, pokud by bylo úrokové období měsíční, jednalo by se o měsíční úrokovou sazbu atd. Jestliže bude aplikována daň z úrokových příjmů, bude rovněž nutno uvažovat čistou úrokovou sazbu za úrokové období.

Proměnná (t) neznamená automaticky počet roků, ale je to obecně počet úrokových období úročení kapitálu. Pokud bude úrokové období zrovna roční, bude se jednat o počet roků, ale pokud bude úrokové období pololetní, bude se jednat o počet pololetí atd.

Aplikaci vlivu úrokového období na hodnotu proměnných ve vzorci pro výpočet úroku demonstruje příklad 1.6.

Příklad 1.6Výpočet úroku

Na účet se čtvrtletním úrokovým obdobím a s úrokovou sazbou 4 % p. a. bylo uloženo 1 000 Kč. Jaký úrok připíše banka za 3 měsíce na účet? Sazba daně z úrokových příjmů činí 15 %.

Řešení:

Úrokové období je čtvrtletní, což je pro nás důležitá informace, jelikož úrokovému formátu musí být přizpůsobeny všechny na něm závislé proměnné vstupující do daného vztahu. To znamená, že proměnná (r) musí být čtvrtletní úroková sazba a kvůli aplikaci zdanění se musí jednat o čistou úrokovou sazbu a proměnná (t) musí být počet čtvrtletí úročení kapitálu 1 000 Kč.

úrokové období = čtvrtletí

r = 4 % p. a. => 1 % p. q. => vliv zdanění => 0,01 · (1 − 0,15) => 0,85 % p. q. => 0,0085

3 měsíce => 1 čtvrtletí => t = 1

Odpověď: Banka připíše na účet úrok ve výši 8,50 Kč.

Pochopení významu úrokového období a jeho vlivu na hodnotu proměnných vstupujících do vztahů finanční matematiky je naprosto klíčové.

1.7Typy úročení

Úročení představuje způsob započítávání úroků. Obecně existují dva základní typy úročení:

a)jednoduché úročení,

b)složené úročení.

U jednoduchého úročení dochází stále pouze k úročení původního kapitálu, to znamená, že nedochází k úročení připsaných úroků z předchozích úrokových období. Je zde využito aritmetické posloupnosti. Naproti tomu u složeného úročení se kromě původního kapitálu úročí i úroky připsané za předchozí úroková období, a dochází tím i k připisování úroků z úroků. Složené úročení využívá geometrické posloupnosti.

Rozdíl mezi jednoduchým a složeným úročením uvádí tabulka 1.2. Uvažujme, že jsme v obou případech uložili nyní (období 0) na účet částku 100 Kč na dvě období, kdy za každé období bude připočten úrok 10 %.

V případě jednoduchého úročení máme na konci prvního období částku 110 Kč. Jednak 100 Kč je původní vklad a 10 Kč je připsaný úrok za první období (10 % ze 100 Kč). Na konci druhého období bude připočteno opět dalších 10 Kč, protože se bude úročit pouze původní vklad 100 Kč a 10 % z něj je 10 Kč. Takže celkově máme na konci druhého období 120 Kč.

V případě složeného úročení to bude v rámci prvního období stejné jako u jednoduchého úročení, bude připsáno 10 Kč, protože se 10 procenty bude úročit původní vklad 100 Kč. Celkově tedy máme 110 Kč. Úroky z úroků zde ještě nejsou, protože se jedná teprve o první období a žádné úroky z předchozích období tu zatím nemohou být. Na konci druhého období se již ovšem nebude jako v případě jednoduchého úročení úročit původní vklad 100 Kč, ale 110 Kč jako zůstatek z předchozího úrokového období. Celkově tedy bude připsáno 10 % ze 110 Kč, to znamená 11 Kč, a na účtu bude tedy celkově 121 Kč. Rozdíl 1 Kč oproti jednoduchému úročení jsou úroky z úroků (10 % z 10 Kč = 1 Kč).

Tabulka 1.2 Jednoduché a složené úročení – úroková sazba za úrokové období = 10 %

Typ úročení

Počet úrokových období

0

1

2

Jednoduché

100 Kč

110 (100 + 10) Kč

120 (100 + 10 + 10) Kč

Složené

100 Kč

110 (100 + 10) Kč

121 (100 + 10 + 11) Kč

V dalším období by se u jednoduchého úročení úročilo opět pouze původních 100 Kč a bylo by připsáno 10 Kč. Celkově by tedy na účtu bylo 130 Kč. V případě složeného úročení by se úročil zůstatek z druhého období, to znamená 121 Kč, a bylo by připsáno 12,1 Kč (10 % ze 121 Kč). Celkově by tedy na účtu bylo 133,1 Kč a rozdíl oproti jednoduchému úročení by z 1 Kč z druhého období narostl na 3,1 Kč a pověstné nůžky by se začaly rozevírat (viz obrázek 1.4).

Obrázek 1.4 Jednoduché versus složené úročení

Základní rozdíl mezi jednoduchým a složeným úročením tak spočívá v připisování úroků z úroků, které se vyskytuje pouze u složeného úročení. Úroky z úroků mají v dlouhodobém časovém horizontu neuvěřitelnou sílu. Té si mimochodem všiml i Albert Einstein, který označil složené úročení za další div světa. Grafický rozdíl mezi jednoduchým a složeným úročením je vidět na obrázku 1.4.

Obrázek 1.4 znázorňuje vývoj budoucí hodnoty současné stokoruny v závislosti na čase, resp. počtu úrokových období. Budoucí hodnotu lze interpretovat jako vývoj hodnoty peněžních prostředků na účtu v jednotlivých úrokových obdobích, pokud na počátku bylo na tento účet uloženo 100 Kč. Vývoj hodnoty při jednoduchém úročení znázorňuje polopřímka A a při složeném úročení se jedná o křivku B (exponenciálu). Z obrázku 1.4 vyplývá:

•Pokud je počet úrokových období menší než 1, je vyšší budoucí hodnota při jednoduchém úročení než při úročení složeném.

•Pokud je počet úrokových období roven přesně 1, je budoucí hodnota stejná v rámci obou úročení.

•Pokud je ovšem počet úrokových období větší než 1, je budoucí hodnota vyšší při složeném úročení než při jednoduchém úročení a s rostoucím počtem úrokových období rozdíl obou hodnot neustále roste, což reprezentuje šedě vyznačená část grafu, kterou tvoří úroky z úroků.

Výše uvedené je samozřejmě možné ověřit jednoduchým výpočtem.

Jednoduché úročení

Složené úročení

FV = 100 · (1 + 0,1)0,5 = 104,88

FV = 100 · (1 + 0,1 · 0,5) = 105

FV = 100 · (1 + 0,1)1 = 110

FV = 100 · (1 + 0,1 · 1) = 110

FV = 100 · (1 + 0,1)2 = 121

FV = 100 · (1 + 0,1 · 2) = 120

Detailnější pohled na situaci, kdy je vklad úročen maximálně po dobu jednoho úrokového období, zobrazuje tabulka 1.3.

Tabulka 1.3 Aplikace jednoduchého a složeného úročení v závislosti na počtu úrokových období

Úroková sazba

Současná hodnota

Budoucí hodnota

Budoucí hodnota

10 % p. a.

100 Kč

jednoduché úročení

složené úročení

počet úrokových období

0,1

101,000 Kč

100,958 Kč

0,2

102,000 Kč

101,924 Kč

0,3

103,000 Kč

102,901 Kč

0,4

104,000 Kč

103,886 Kč

0,5

105,000 Kč

104,881 Kč

0,6

106,000 Kč

105,885 Kč

0,7

107,000 Kč

106,899 Kč

0,8

108,000 Kč

107,923 Kč

0,9

109,000 Kč

108,957 Kč

1

110,000 Kč

110,000 Kč

Z tabulky je patrné, že čím více se počet úrokových období blíží jedné, tím se hodnota budoucí hodnoty vypočtené pomocí složeného úročení čím dál více přibližuje budoucí hodnotě vypočtené jednoduchým úročením.

Z obrázku 1.4 dále plyne nezanedbatelná role úroků z úroků u složeného úročení oproti jednoduchému úročení a tato role narůstá s rostoucím počtem úrokových období (viz příklad 1.7).

Jednoduché úročení se tak obvykle používá tehdy, když je počet úrokových období menší než 1, a složené úročení je užíváno v případě počtu úrokových období větším než 1. Technicky a teoreticky nic nebrání tomu, aby při počtu úrokových období menším než 1 bylo užito složené úročení a naopak, typické to ovšem není.

Příklad 1.7Síla složeného úročení

Pokud by Karel IV. v roce 1348 uložil na účet s úrokovou sazbou 5 % p. a. s ročním úrokovým obdobím částku 1 Kč, bylo by na tomto účtu v roce 2016 (tzn. po 668 letech):

a)v případě jednoduchého úročení na účtu: 34,40 Kč,

b)v případě složeného úročení na účtu: 142 709 136 627 052 Kč.

Rozdíl mezi částkami činí výlučně úroky z úroků u složeného úročení a je z toho jednoznačně patrná jejich neuvěřitelná síla v delším časovém horizontu. Vzhledem k současnému zadlužení ČR lze jen s nadsázkou poznamenat, že je škoda, že to Karel IV. neučinil.

Uvedený rozdíl mezi částkou v případě jednoduchého a složeného úročení by ovšem velmi závisel na zhodnocení v daném období 660 let, jednoduše na úrokové sazbě. Čím by úroková sazba byla nižší, tím by klesal i rozdíl mezi oběma částkami, a to opět geometricky. Potvrzuje to ostatně i tabulka 1.4. Úroková sazba (zhodnocení) vždy udává strmost obou křivek na obrázku 1.4. Čím větší zhodnocení, tím je křivka strmější a tím rychleji se zvyšuje například částka na účtu.

Kromě dělení na jednoduché a složené se úročení dělí také na:

•polhůtní (dekursivní), proměnná (r);

•předlhůtní (anticipativní), proměnná (ra).

Rozdíl mezi polhůtním a předlhůtním úročením je v tom, kdy dochází k úročení a z jaké hodnoty jsou úroky počítány. Oba typy se typicky vyskytují u jednoduchého úročení. U složeného úročení se jedná především o polhůtní úročení.

Tabulka 1.4 Vliv úrokové sazby na jednoduché a složené úročení

Úroková sazba

Koncová částka v případě

jednoduchého úročení

Koncová částka v případě

složeného úročení

5 % p. a.

34,40 Kč

142 709 137 mil. Kč

4 % p. a.

27,72 Kč

238 930 mil. Kč

3 % p. a.

21,04 Kč

376 mil. Kč

2 % p. a.

14,36 Kč

555 795 Kč

1 % p. a.

7,68 Kč

770 Kč

0,5 % p. a.

4,34 Kč

28 Kč

U polhůtního úročení dochází k úročení na konci úrokového období a úroky jsou počítány z původní (současné) hodnoty kapitálu. Tento typ úročení je všeobecně známější než předlhůtní typ úročení a vyskytuje se například na bankovních účtech apod. (viz příklad 1.8).

Příklad 1.8Polhůtní úročení

Pokud na bankovní účet s 5% roční úrokovou sazbou a ročním úrokovým obdobím uložíme 100 Kč, připíše banka na konci úrokového období (v tomto případě roku) úrok ve výši 5 Kč, který vypočítá z původní hodnoty kapitálu (PV), to znamená ze 100 Kč. Jedná se tak o polhůtní úrok. Úroková sazba 5 % p. a. je tedy v tomto případě polhůtní (dekursivní) úrokovou sazbou, jelikož je užita při polhůtním úročení. Úrok je vypočítán dle vztahu, který již byl uveden v této kapitole, kde K je současná (původní) hodnota kapitálu.

Naproti tomu u předlhůtního úročení dochází k úročení na začátku úrokového období a úroky jsou počítány z budoucí (koncové) hodnoty kapitálu. Tento typ úročení je nejčastěji spojen s diskontováním krátkodobých cenných papírů (především směnek) bankami či krátkodobých pohledávek factoringovými společnostmi. Užití předlhůtního úročení si ukážeme na jednoduchém příkladu 1.9.

Příklad 1.9Předlhůtní úročení

Firma se kvůli nedostatku hotovosti rozhodla prodat pohledávku, která zní na 100 000 Kč, a to 6 měsíců před její splatností factoringové společnosti, jež používá pro tyto účely úrokovou sazbu 10 % p. a. s ročním úrokovým obdobím. Kolik nyní firma od factoringové společnosti obdrží?

Firma samozřejmě nyní od factoringové společnosti obdrží méně než 100 000 Kč, jelikož factoringová společnost si z této částky, která má být hrazena v budoucnu, strhne určitou srážku, která se označuje jako diskont. Nejde o nic jiného než o předlhůtní úrok.

O předlhůtní úrok se jedná z toho důvodu, že byl účtován na začátku úrokového období a je počítán z budoucí hodnoty kapitálu (100 000 Kč). Úroková sazba, která bude při výpočtu této srážky užita, je tedy předlhůtní (anticipativní) úroková sazba a označuje se rovněž jako tzv. diskontní sazba.

Výše diskontu (předlhůtního úroku) se vypočítá dle stejného vztahu pro výpočet úroku jako v příkladu 1.8, pouze bude vypočítán z budoucí (koncové) hodnoty kapitálu, bude použita předlhůtní úroková sazba a bude účtován již na počátku úrokového období.

Factoringová společnost si tedy nyní strhne 5 000 Kč a firmě vyplatí 95 000 Kč. Diskont ve výši 5 000 Kč představuje pro factoringovou společnost odměnu za to, že nyní firmě vyplatí 95 000 Kč a bude čekat 6 měsíců, kdy z pohledávky obdrží 100 000 Kč.

Podrobně se rozdílu mezi polhůtním a předlhůtním jednoduchým úročením věnuje kapitola Jednoduché úročení a jeho využití.

1.8Procento versus procentní bod

V rámci této kapitoly se ještě zastavíme u rozdílu mezi pojmy procento a procentní bod. Společnost tento rozdíl často nezná a oba pojmy zaměňuje. Procento představuje relativní podíl či změnu vynásobené stem, kdežto procentní bod je rozdíl mezi dvěma hodnotami v procentech.

Pokud například vzroste úroková sazba z 5 % p. a. na 6 % p. a., nevzrostla o 1 procento, ale o 1 procentní bod. O 1 % by vzrostla v případě, že by došlo k jejímu růstu z 5 % p. a. na 5,05 % p. a. Pokud ale vzrostla z 5 % p. a. na 6 % p. a., lze to interpretovat dvěma způsoby: (a) vzrostla o 20 % nebo (b) vzrostla o 1 procentní bod. Je to naprosto stejné, pokud by úrok narostl z 5 Kč na 6 Kč, to bychom mohli interpretovat opět dvěma způsoby: (a) vzrostl o 20 % nebo (b) vzrostl o 1 Kč.

Sníženy i ostatní sazby

Centrální bankéři dnes snížili i další úrokové sazby. Lombardní sazba klesla o 0,5 procentního bodu na 0,25 procenta. Lombardní sazba je procentuální sazba, za kterou si obchodní banky mohou půjčit u centrální banky peníze oproti zástavě cenných papírů.

Diskontní sazba, na kterou jsou například navázány penále za nesplácené úvěry nebo neuhrazené daně, klesla o 0,05 procentního bodu na 0,05 procenta.

Obrázek 1.5 Použití pojmů procento a procentní bod

Zdroj: www.ihned.cz

Kromě procentního bodu se vyskytuje i pojem bazický bod (basic point). Například při růstu úrokové sazby z 3 % p. a. na 3,25 % p. a. je uvedeno, že úroková sazba vzrostla o 25 bazických bodů. V případě procentních bodů by se jednalo o 0,25 procentního bodu. Jeden procentní bod se tak rovná 100 bazických bodů.

ČNB snižuje úrokové sazby na rekordní minimum

1. 11. 2012

Bankovní rada ČNB na svém dnešním jednání rozhodla snížit dvoutýdenní repo sazbu (2T repo sazbu) o 20 bazických bodů na rekordní minimum 0,05 %. Lombardní sazba byla snížena o 50 bazických bodů na 0,25 % a diskontní sazba byla snížena o 5 bazických bodů na 0,05 %. Nově stanovené úrokové sazby jsou platné od 2. 11. 2012.

Naposledy ČNB uvolnila měnovou politiku 27. 9. 2012, kdy byla dvoutýdenní repo sazba snížena o 25 bazických bodů na 0,25 %.

Obrázek 1.6 Použití pojmu bazický bod

Zdroj: ČNB

Vývoj základních úrokových sazeb v České republice zachycuje obrázek 1.7, který dokládá, že od roku 2012 nedošlo k žádné změně u těchto sazeb.

Obrázek 1.7 Vývoj základních sazeb ČNB

Zdroj: ČNB

2Jednoduché úročení ajeho využití

Vrámci videokurzu Finanční matematika se této kapitole věnuje díl 2.

Jak již bylo uvedeno vpředchozí kapitole, jednoduché úročení je typ úročení, kdy úroky jsou počítány pouze způvodního kapitálu, anikoliv izúroků připsaných vrámci uplynulých úrokových období. Ujednoduchého úročení tak nedochází kpřipisování úroků zúroků. Jednoduché úročení se používá typicky tehdy, když je počet úrokových období menší než jedna. Je zde aplikován princip aritmetické posloupnosti.

Základním rozdělením jednoduchého úročení, které bylo rovněž ve zkratce zmíněno vpředchozí kapitole, je rozdělení na:

a)polhůtní neboli dekursivní,

b)předlhůtní neboli anticipativní.

2.1Jednoduché úročení polhůtní

Polhůtní (dekursivní) typ úročení je mezi lidmi známější než předlhůtní. Jedná se např. otyp úročení, které banky používají uspořicích účtů, termínovaných vkladů, ale na druhou stranu iúvěrů. Pokud vložíme do banky nyní 100Kč auložíme je na účet súrokovou sazbou 5% p.a. aročním úrokovým obdobím, připíše nám banka na konci úrokového období (vtomto případě roku) úrok 5Kč, který vypočítá způvodní (současné) hodnoty kapitálu (PV – present value), tedy ze 100Kč, ato následujícím způsobem.

(2.1)

Jedná se tedy opolhůtní úročení (úroky jsou účtovány na konci úrokového období ajsou počítány způvodní hodnoty kapitálu). Na konci úrokového období tedy bude na účtu původně vložená částka (100Kč) navýšena oúroky. Budoucí hodnota kapitálu (FV – future value) se tedy rovná současné (původní) hodnotě kapitálu (PV) plus připsané úroky (U). To znamená:

Pokud platí, že upolhůtního úročení U = PV · r · t, pak platí:

Pokud dojde kvytknutí současné hodnoty kapitálu (PV), přechází vztah do následující podoby, která představuje základní rovnici jednoduchého polhůtního úročení:

(2.2)

kde:FV = budoucí hodnota kapitálu,

PV = současná hodnota kapitálu,

r = úroková sazba za úrokové období (popř. očištěná odaň zpříjmů),

t = počet úrokových období.

Jak vyplývá ze základního vztahu pro jednoduché polhůtní úročení, proměnné (r) a(t) jsou závislé na formátu úrokového období. Tento formát je tedy opět klíčovou informací, jelikož mu musí být přizpůsobeny všechny proměnné, které jsou na něm závislé akteré vstupují do daného vztahu.

Příklad 2.1

Na účet sroční úrokovou sazbou 4% p.a. apololetním úrokovým obdobím jsme uložili 100000Kč. Jakou částku si můžeme vybrat za 2měsíce, pokud jsou úroky zdaňovány srážkovou sazbou daně zpříjmů ve výši 20%?

Řešení:

Úrokové období je pololetní, to znamená, že jak úroková sazba (r), tak počet úrokových období (t) musí být tomuto formátu přizpůsobeny. Jelikož jsou rovněž úroky zdaňovány srážkovou sazbou daně zpříjmů, je nutno aplikovat čistou úrokovou sazbu.

úrokové období = pololetí

r = 4% p.a. =>2% p.s. => vliv zdanění =>

=> 0,02 · (1 − 0,20) = 1,60 % p. s. =>0,016 p.s.

t = 2měsíce =>2/6 pololetí = 1/3 pololetí

PV = 100000Kč

FV = ? (Kč)

FV = PV · (1 + r · t)

FV = 100 000 · (1 + 0,016 · 1/3)

FV = 100533,33Kč

Odpověď:

Za 2měsíce si můžeme vyzvednout 100533,33Kč.

Základní vztah pro jednoduché polhůtní úročení nabízí ivíce možností, než se na první pohled může zdát. Vpodobě, ve které jsme si jej uvedli [FV = PV · (1 + r · t)], vychází zpředpokladu, že pro každé úrokové období bude platit stejná úroková sazba (r).

Tento vztah ale po rozepsání umožňuje uvažovat iměnící se úrokovou sazbu vjednotlivých úrokových obdobích, ato nejen vzávislosti na měnící se výchozí úrokové sazbě, ale např. ivzávislosti na měnícím se úrokovém období, nebo vzávislosti na měnící se sazbě daně zúrokových příjmů. Toto jsou totiž všechno faktory ovlivňující konečnou hodnotu úrokové sazby (r), která bude do daného vztahu dosazena.

Uvažujme například, že uložíme 100Kč na dobu dvou úrokových období,1 přičemž vprvním úrokovém období bude úroková sazba 2% ave druhém 3%, vždy za dané úrokové období (včetně případného zohlednění daně zpříjmů). Základní rovnici pro jednoduché polhůtní úročení lze poté rozepsat následujícím způsobem:

kde:r1 = úroková sazba za první úrokové období,

r2 = úroková sazba za druhé úrokové období.

Pokud by se jednalo otři úroková období, byl by vztah logicky následující:

Ze základního vztahu pro jednoduché polhůtní úročení nemusí být počítána pouze budoucí hodnota kapitálu (FV), ale iostatní proměnné:

a)výpočet současné hodnoty kapitálu (PV):

(2.3)

b)výpočet úrokové sazby za úrokové období (r):

(2.4)

c)výpočet počtu úrokových období (t):

(2.5)

Pro všechny proměnné vpředchozích třech vztazích platí opět následující:

FV = budoucí hodnota kapitálu,

PV = současná hodnota kapitálu,

r = úroková sazba za úrokové období (popř. očištěná odaň zpříjmů),

t = počet úrokových období.

Příklad 2.2

Jaká částka musí být nyní uložena účet, aby za 3měsíce při 4% roční úrokové sazbě, čtvrtletním úrokovém období a15% srážkové dani zpříjmů bylo na tomto účtu 1000Kč?

Řešení:

Úrokové období je čtvrtletní, to znamená, že jak úroková sazba (r), tak počet úrokových období (t) musí být tomuto formátu přizpůsobeny. Jelikož jsou rovněž úroky zdaňovány srážkovou sazbou daně zpříjmů, je nutno aplikovat čistou úrokovou sazbu.

úrokové období = čtvrtletí

r = 4% p.a. =>1% p.q. => vliv zdanění =>

=> 0,01 · (1 − 0,15) = 0,0085 p. q.

t = 3měsíce =>1 čtvrtletí

FV = 1000Kč

PV = ? (Kč)

Odpověď:

Na účet je nutno uložit 991,57Kč.

Následuje příklad na aplikaci vztahu 2.4. Velmi zajímavé je utohoto příkladu zohlednění zdanění.

Příklad 2.3

Jaká musí být aplikována výchozí (hrubá) roční úroková sazba (tzn. ve formátu p.a.), aby za 4měsíce při pololetním úrokovém období byla na účtu způvodních 10000Kč částka 10100Kč? Sazba daně zúrokových příjmů činí 20%.

Řešení:

Úrokové období je pololetní, to znamená, že počet úrokových období (t) musí být tomuto formátu přizpůsoben aúroková sazba (r) bude při aplikaci vztahu 2.4 vycházet jako pololetní úroková sazba (p.s.). Ovšem dle zadání je nutno uvést úrokovou sazbu vročním formátu (p.a.), to znamená převést pololetní úrokovou sazbu do ročního formátu vynásobením dvěma.

úrokové období = pololetí

r = ? (p.s.)

t = 4měsíce =>4/6 pololetí = 2/3 pololetí

PV = 10000Kč

FV = 10 100 Kč

=>1,5% p.s. =>3,00% p.a.

Vypočtená úroková sazba 1,5% p.s. (resp. 3,00% p.a.) je sazba, která opravdu za 4měsíce dokáže zhodnotit původních 10000Kč na 10100Kč, ato ipo zohlednění zdanění. Jedná se tedy očistou úrokovou sazbu.

Je to logické, pokud má být vypočtena např. budoucí hodnota vkladu po zohlednění zdanění, je nutno do vzorce dosazovat čistou úrokovou sazbu. Logicky poté naopak zdaného vztahu čistá úroková sazba ivychází. Dle zadání má být ovšem vypočtena výchozí (myšleno hrubá) úroková sazba (bude uvedena např. ve smlouvě).

Pokud dle vztahu 1.1 platí, že rc = rh · (1 − rdp),
pak logicky ,
toznamená:

Odpověď:

Úroková sazba musí odpovídat 3,75% p.a.

Následující příklad se věnuje aplikaci vztahu 2.5.

Příklad 2.4

Způvodního vkladu 10000Kč byla po určité době na účtu částka 10025Kč. Jak dlouhá byla doba (vměsících), pokud je účet úročen úrokovou sazbou 2% p.a. se čtvrtletním připisováním úroků? Sazba daně zúrokových příjmů činí 15%.

Řešení:

Úrokové období je čtvrtletní, to znamená, že je nutno uvažovat čtvrtletní úrokovou sazbu, ajelikož je aplikována srážková daň zúroků, je nutno ji otuto daň očistit auvažovat tak čistou úrokovou sazbu. Vtomto příkladu je počítána proměnná (t) neboli počet úrokových období, po které tam původní vklad ležel, než se zúročil na 10025Kč. Vtomto případě tedy proměnná (t) bude vycházet ve čtvrtletích, jelikož úrokové období je čtvrtletní. Ovšem dle zadání má být doba uvedena vměsících, proto je poté nutno vynásobit počet čtvrtletí třemi apřevést je tak na měsíce.

úrokové období = čtvrtletí

r = 2% p.a. =>0,5% p.q. => vliv zdanění

=> 0,005 · (1 − 0,15) = 0,425 % p. q. =>

=> 0,00425 p. q.

t = ? (čtvrtletí)

PV = 10000Kč

FV = 10 025 Kč

=>1,76měsíců

Odpověď:

Doba trvala (vměsících) 1,76měsíců, to znamená cca 1měsíc a23dní, při použití standardu 30E/360.

2.2 Jednoduché úročení předlhůtní

Upředlhůtního (anticipativního) úročení jsou úroky účtovány na začátku úrokového období ajsou počítány zbudoucí hodnoty kapitálu (FV), ato na základě tzv. předlhůtní (anticipativní) úrokové sazby (ra). Předlhůtní úročení je nejčastěji aplikováno při odkupu krátkodobých cenných papírů (směnek, pokladničních poukázek) nebo krátkodobých pohledávek před jejich splatností (může se jednat otzv. factoring). Při tomto odkupu dochází ktzv. diskontování, na jehož základě je vypočtena aktuální cena tohoto aktiva neboli současná hodnota (PV), která je jeho majiteli vyplacena. Tato cena se vypočítá na základě tří faktorů:

•budoucí hodnoty, která zaktiva plyne vdobě jeho splatnosti,

•předlhůtní (anticipativní) úrokové sazby, která je také označována jako tzv. diskontní sazba,

•zbytkové doby do splatnosti aktiva.

Pokud mluvíme o„prodeji“ pohledávek, tak podle české právní úpravy se jedná otzv. postoupení pohledávky označované také jako „cese pohledávky“. Princip odkupu pohledávek je přehledně znázorněn na obrázku 2.1.

Obrázek 2.1 Princip odkupu pohledávek

Zdroj: ČSOB

Factoring pohledávek (odkup krátkodobých pohledávek před jejich splatností) je nabízen factoringovými společnostmi, jimiž mohou být přímo banky nebo ijiné subjekty specializující se na tuto činnost. Stejný princip jednoduchého předlhůtního úročení, který je aplikován ufactoringu, je aplikován ipři eskontu (odkupu) krátkodobých cenných papírů (konkrétně směnek). Podrobně se eskontu směnek (resp. poskytování eskontního úvěru) věnuje kapitola Směnky ajiné krátkodobé cenné papíry.

Základní vztah pro předlhůtní úročení (atudíž ipro aktuální hodnotu pohledávky či krátkodobého cenného papíru) má poté následující tvar:

(2.6)

kde:PV = současná hodnota kapitálu (cena aktiva),

FV = budoucí hodnota kapitálu (částka ve splatnosti),

ra = anticipativní (diskontní) úroková sazba za úrokové období,

t = počet úrokových období do splatnosti aktiva.

Diskontní sazba nebývá stejná pro všechny obdobné obchody, protože při každém odkupování pohledávky či krátkodobého cenného papíru je důležitá tzv. bonita dlužníka, což můžeme chápat jako pravděpodobnost, že dlužník, resp. emitent dostojí svým závazkům. Ke každé takové transakci tudíž banky či jiní kupující přistupují individuálně.

I. Diskontní sazba = refinanční sazba + marže

Refinanční sazba:

–do 1 roku splatnosti pohledávky: Pribor, Euribor, Libor,

–nad 1 rok splatnosti pohledávky: vnitřní refinanční sazba ČSOB: sazba odvozená od dlouhodobých sazeb na mezibankovním peněžním trhu.

Marže: Odpovídá bonitě odběratele (při odkupu bez postihu) či dodavatele (při odkupu spostihem).

Obrázek 2.2 Příklad postupu stanovení diskontní sazby

Zdroj: ČSOB

Vrámci diskontování se nejčastěji užívá roční úrokové období, což znamená, že bývá aplikována roční úroková sazba aproměnná (t) bývá uváděna vletech. Vztah 2.6lze přepsat do následujícího tvaru roznásobením závorky.

(2.7)

Ze vztahu 2.7 vyplývá, že při výpočtu současné ceny aktiva při diskontování je zbudoucí hodnoty vdobě splatnosti strhávána částka, která se vypočítá jako FV · ra · t. Tato částka je označována jako tzv. diskont ajedná se ovýši předlhůtního úroku. Jak již bylo uvedeno, vpřípadě předlhůtního úročení je úrok (tzv. diskont) vypočítán zbudoucí hodnoty kapitálu (FV) aje strháván na začátku úrokového období. Předlhůtní úrok neboli diskont je tedy počítán dle následujícího vztahu:

(2.8)

Upozornění

Příklad 2.5

Řešení:

Cena pohledávky po odečtení diskontu:

Odpověď:

2.3 Srovnání polhůtního apředlhůtního úročení

2.4 Úročení běžných účtů

Od

Do

2.5 Skonto

2.6 Další řešené příklady

2.7 Příklady kprocvičení